三晋卓越联盟·山西省2023-2024学年高一期末质量检测理数试题

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解析：(1)在△ABC中，由√3 asin B=bcosA+b及正弦定理得v√3 sin Asin B=sin BcosA+sinB,而sinB≠0，则√3sinA=cosA+l,即5simA-cosA=1,整理得sin(A-吾)=，又-吾1,lnx>0,f(x)>0,f(x)单调递增，所以x=1是f(x)的极小值点，也即为最小值点.所以f(x)≥f(1)=0,即不等式成立.…4分(2)由题意得对任意x∈(0，十oo),都有ke+(lnx)2-x≥(x十lnk)2,即ke-(x+lnk)2≥x-(lnx)2,即e+in-(x十lnk)2≥eax-(lnx)2.令g(t)=e-t,可得g(x+lnk)≥g(lnx)恒成立，g'(t)=e-2t,令h(t)=e-2t,所以h'(t)=e-2.当t∈(-∞，ln2)时，h'(t)<0,h(t)单调递减；当t∈(ln2,十o∞)时，h'(t)>0,h(t)单调递增，所以h(t)≥h(ln2)=2(1-ln2)>0,即g(t)>0,所以g(t)在R上单调递增，所以x十lnk≥lnx恒成立，即lnk≥lnx-x恒成立，故只需lnk>(lnx一x)max·令u(x)=lnx-x,则u(x)=1-xx当x∈(0,1)时，u'(x)>0,u(x)单调递增；5月卷A·理数参考答
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